Sobre el Problema de Unidad en la Fisica (Zum Unitatsproblem der Physik) - Theodor Kaluza (1921)
Zum Unitatsproblem der Physik
Theodor Kaluza
en Königsberg.
En la Teoría de la Relatividad General, para caracterizar los eventos del mundo, el Tensor Fundamental métrico \(\,g_{\mu\,\nu}\,\) de la variedad del mundo cuatridimensional se debe de interpretar como el Potencial Tensorial Gravitacional, además se tiene que añadir el Cuatripotencial Electromagnético \(\,q_{\mu}\,\) a su lado.
Así, el Dualismo que aun permanece aquí entre gravitación y electricidad ciertamente no le quita nada de su cautivadora belleza a esta teoría pero requiere de nuevos descubrimientos para superarlos a través de una Imagen del Mundo completamente unitaria.
Un intento sorprendentemente audaz de resolver este problema, que forma parte de las grandes ideas predilectas de la mente humana, fue realizado por H. Weyl1 hace algunos años, que en una reiterada revisión radical del fundamento geométrico, obtuvo junto al Tensor \(\,g_{\mu\,\nu}\,\) también un tipo de Vector Fundamental métrico e interpretado como un Potencial Electromagnético \(\,q_{\mu}\,\): Allí se presenta la métrica del mundo completa como la fuente común de todo lo que sucede en la naturaleza.
Se quiere buscar aquí el mismo objetivo por un camino diferente.
Aparte de las dificultades que acompañan a la implementación de esta profunda teoría de H. Weyl también sería idealmente concebible una realización todavía más perfecta del concepto de unificación: Los Campos Gravitatorio y Electromagnético surgen de un único Tensor Universal. --- Ahora me gustaría mostrar que una unión tan estrecha de ambas fuerzas del mundo, en principio, parece posible.
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La forma Rotacional de las componentes del Campo Electromagnético \(\,F_{\varkappa\,\lambda}\,\), pero todavía más, esa inconfundible coincidencia formal en la construcción de las Ecuaciones Gravitacionales y las Electromagnéticas 2 requiere formalmente la suposición, que las \(\,\dfrac{1}{\,2\,}\,F_{\varkappa\,\lambda} = \dfrac{1}{\,2\,}\,(q_{\,\varkappa\,\cdot\,\lambda} - \,\, q_{\,\lambda\,\cdot\,\varkappa})\)3 podrían ser de algún modo cantidades de tres índices (símbolos de Christoffel) \( \Bigg[{\displaystyle{{i\;\lambda}\atop{\varkappa}}}\Bigg] = \dfrac{1}{\,2\,} (g_{\, i\, \varkappa\,\cdot\,\lambda} + g_{\,\varkappa\,\lambda\,\cdot\, i} - g_{\,i\, \lambda\, \cdot\, \varkappa})\,\) truncadas. Entonces, si le das espacio a esta idea, uno se verá impulsado con gran determinación por un camino al principio poco acogedor: Debido a que en un mundo cuatridimensional no existen cantidades de tres índices adicionales, aparte de las ya utilizadas para las componentes del Campo Gravitacional, entonces esta interpretación de las \(F_{\,\varkappa\,\lambda}\) difícilmente se podría sostener de otro modo, a menos que uno esté dispuesto a la decisión probablemente muy extraña de llamar a una nueva, quinta dimensión del mundo por ayuda.
Ahora, aunque nuestra amplia experiencia física anterior difícilmente contiene una pista de semejante parámetro de mundo sobrante, sin embargo estamos ciertamente libres de considerar nuestro mundo espacio-temporal como una porción cuatridimensional de un \(\,R_{5}\,\); Entonces solamente se tiene el hecho de que nunca hemos notado cambios en las variables de estado distintas a las espacio-temporales, por tanto debemos tenerlo en cuenta, para que sus derivadas con respecto al nuevo parámetro se establezcan a cero o tratarlas como pequeñas en torno a la ordenada superior (»Condición del Cilindro«). El temor a que con ello se pueda revertir de nuevo lo que se hizo con la introducción de la quinta dimensión es infundado debido al encadenamiento de los parámetros de mundo en las cantidades de tres índices.
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Por consiguiente nos trasladamos a un \(\,R_{5}\,\) y sobre él transferimos los planteamientos de Einstein; además me gustaría que \(\,x^{\,0}\,\) aparezca como el nuevo parámetro junto a los habituales \(\,x^{\,1}\,\) a \(\,x^{\,4}\,\). Si \(\,g_{\, r\,s}\)4 representa el Tensor Fundamental métrico de este \(\,R_{5}\,\), entonces en virtud de la Condición del Cilindro, las cantidades de tres índices \(\,\Bigg[{\displaystyle{{i\,k}\atop{l}}}\Bigg]\,\) designadas aquí como \(\, - \,\Gamma_{i\,k\,l}\,\), se convierten en: \[ \begin{equation}\label{eq:00001} \begin{aligned} 2\,\Gamma_{\varkappa\,\lambda\,\mu} & = g_{\,\varkappa\,\lambda\,\cdot\,\mu} - g_{\,\lambda\,\mu\,\cdot\,\varkappa} - g_{\,\mu\,\varkappa\,\cdot\,\lambda} \quad(\text{como antes}),\\ 2\,\Gamma_{0\,\varkappa\,\lambda} & = g_{\, 0\,\varkappa\,\cdot\,\lambda} - g_{\, 0\,\lambda\,\cdot\,\varkappa}\,, \quad 2\,\Gamma_{\varkappa\,\lambda\,0} = - \,(g_{\, 0\,\varkappa\,\cdot\,\lambda} + g_{\, 0\,\lambda\,\cdot\,\varkappa})\,,\\ 2\,\Gamma_{0\,0\,\varkappa} & = g_{0\,0\,\cdot\,\varkappa}\,, \quad 2\,\Gamma_{0\,\varkappa\,0} = - \,g_{0\,0\,\cdot\,\varkappa}\,, \quad 2\,\Gamma_{0\,0\,0} = 0\,. \end{aligned} \tag{1} \end{equation} \]
Este resultado al principio es poco alentador: si bien las \(\,\Gamma_{0\,\varkappa\,\lambda}\,\) aparecen realmente en forma de Rotacional, sin embargo las diez \(\,\Gamma_{\varkappa\,\lambda\,0}\,\), que en la interpretación que se pretende aquí también deberían ser de naturaleza eléctrica, amenazan con truncar el camino. Aún así, realizaremos su seguimiento y para conseguir las correspondientes \(\,F_{\varkappa\,\lambda}\,\) a partir de \(\,\Gamma_{0\,\varkappa\,\lambda}\,\), establecemos: \[ \begin{equation}\label{eq:00002} g_{0\,\varkappa} = 2 \,\alpha\,q_{\,\varkappa}\,, \quad g_{0\,0} = 2\,\mathfrak{g} \,, \tag{2} \end{equation} \] de modo que el Tensor Fundamental métrico de \(\,R_{5}\,\) esencialmente será el Potencial Tensorial Gravitacional con el Cuatripotencial Electromagnético acotado; el papel de la componente \(\,\mathfrak{g}\,\) en la esquina permanece indeterminado por ahora. También se escribes \(\,\sum_{\varkappa\,\lambda}\,\) para abreviar las sumas \(\,q_{\,\varkappa\,\cdot\,\lambda} + q_{\,\lambda\,\cdot\,\varkappa}\,\) correspondientes a \(\,F_{\varkappa\,\lambda}\,\), entonces se tiene: \[ \begin{equation}\label{eq:00003} \Gamma_{0\,\varkappa\,\lambda} = \alpha\,F_{\varkappa\,\lambda}\,, \quad \Gamma_{\varkappa\,\lambda\,0} = - \,\alpha\,{\sum}_{\varkappa\,\lambda}\,, \quad \Gamma_{0\,0\,\varkappa} = - \, \Gamma_{0\,\varkappa\,0} = \mathfrak{g}_{\,\boldsymbol{\cdot}\,\varkappa}\,. \tag{3} \end{equation} \]
Por lo tanto, debido a este Campo Electromagnético \(\,F_{\varkappa\,\lambda}\,\), su »Campo Asociado« \(\,\sum_{\varkappa\,\lambda}\,\) así como al Gradiente5 de \(\,\mathfrak{g}\,\), las treinta y cinco nuevas cantidades de tres indices (cinco de las cuales desaparecen) se agotan. Además, las relaciones conocidas surgen de la ecuación integral \[ \begin{equation}\label{eq:00004} (\,\Gamma_{i\,k\,l} + \Gamma_{k\,l\,i} + \Gamma_{l\,i\,k} \, )_{\,\boldsymbol{\cdot}\, m} = \Gamma_{m\,i\,k\,\boldsymbol{\cdot}\, l} + \Gamma_{m\,k\,l\,\boldsymbol{\cdot}\, i} + \Gamma_{m\,l\,i\,\boldsymbol{\cdot}\, k} \tag{4} \end{equation} \] debido a la Condición del Cilindro: \[ \begin{equation}\label{eq:0004a} F_{\varkappa\,\lambda\,\boldsymbol{\cdot}\,\mu} + F_{\lambda\,\mu\,\boldsymbol{\cdot}\,\varkappa} + F_{\mu\,\varkappa\,\boldsymbol{\cdot}\,\lambda} = 0 \qquad\text{y}\qquad \mathfrak{g}_{\,\boldsymbol{\cdot}\,\varkappa\,\lambda} \! = \mathfrak{g}_{\,\boldsymbol{\cdot}\,\lambda\,\varkappa}\;. \tag{4a} \end{equation} \]
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Ahora, como es habitual, restringimos la elección de los parámetros a \(\,g = |g_{\,r\,s}| = - \,1\,\) y dejamos (Aproximación I) que \(\,g_{\,r\,s}\,\) se desvíe solo ligeramente de los valores »euclidianos« \(\,-\delta_{\,r\,s}\,\). Con \(\,\Gamma_{i\,k}^{\,l} = -\,\Bigg\{{\displaystyle{{i\,k}\atop{l}}}\Bigg\} = - \,\Gamma_{i\,k\,l}\,\) las componentes del segundo Tensor de Cuatro Índices, que aquí interesa, se convierten entonces en: \[ \begin{equation}\label{eq:00005} \begin{aligned} \boldsymbol{\big\{}\, \varkappa\,\lambda\,,\; \mu\,0\,\boldsymbol{\big\}} & = \alpha\,F_{\varkappa\,\boldsymbol{\cdot}\,\mu}^{\,\lambda}\,, \quad \boldsymbol{\big\{}\, \varkappa\,0\,,\; 0\,\lambda\,\boldsymbol{\big\}} = - \, \mathfrak{g}_{\,\boldsymbol{\cdot}\,\varkappa\,\lambda}\,, \\[1mm] \boldsymbol{\big\{}\, \varkappa\,\lambda\,,\; 0\,0\,\boldsymbol{\big\}} & = \boldsymbol{\big\{}\, \varkappa\,0\,,\; 0\,0\,\boldsymbol{\big\}} = \boldsymbol{\big\{}\, 0\,0\,,\; 0\,0\,\boldsymbol{\big\}} = 0\,. \end{aligned} \tag{5} \end{equation} \]
Afortunadamente el Campo Asociado de la ecuación \((\ref{eq:00003})\) ya no aparece aquí: De las cantidades eléctricas, son las Derivadas del Campo por sí solas las que co-determinan la curvatura de \(\,R_{5}\,\). Si formamos por completo el Tensor reducido \(\,R_{\, i\, k} = \boldsymbol{\big\{}\,i\,r,\;r\,k\,\boldsymbol{\big\}}\,\), entonces en virtud de nuestras suposiciones se aplica (en una notación conocida): \[ \begin{equation} \begin{aligned} R_{\,\mu\,\nu} & = \Gamma_{\mu\,\nu\,\boldsymbol{\cdot}\,\varrho}^{\,\varrho}\quad (\text{como antes}),\\ R_{\, 0\,\mu} & = - \; \alpha\,\Delta\,\iota\,v_{\mu}\,F \quad = - \,\alpha\,\partial^{\,\rho}\,F_{\mu\rho} \,, \\ R_{\, 0\, 0} & = - \; \Box\mathfrak{g}\,. \end{aligned} \label{eq:00006} \tag{6} \end{equation} \]
Así, las quince componentes del Tensor de Curvatura en los lados izquierdos, se descomponen en: \(1.\,\) las antiguas Ecuaciones del Campo Gravitacional, \(2.\,\) las Ecuaciones Electromagnéticas Básicas, \(3.\,\) una Ecuación de Poisson para la \(\,\mathfrak{g}\,\) aún sin interpretación. En este hecho se encuentra una primera justificación para nuestro Ansatz y para la esperanza de reconocer la Gravitación y la Electricidad como manifestaciones de un Campo Universal.
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Para el Tensor de Energía de la materia que gobierna el lado derecho de las Ecuaciones de Campo en \(\,R_{5}\,\), en la Aproximación I, se aplica: \[ T_{i\,k} = T^{i\,k} = \mu_{0}\, u^{i}\, u^{k} \label{eq:00007} \tag{7} \]
Dado que ahora es \(\,R_{\,0\,\mu} = - \,\varkappa\;T_{0\,\mu}\,\) (para los tres tipos de ecuaciones de campo), entonces las Ecuaciones de Maxwell, según \((\ref{eq:00006})\), requieren para las componentes de la Cuatricorriente: \[ \boldsymbol{{\rm I}}^{\,\mu} = \rho_{\displaystyle_0}\, v^{\,\mu} = \dfrac{\varkappa}{\,\alpha\,}\; T_{0\,\mu} = \dfrac{\varkappa}{\,\alpha\,}\;\mu_{0}\, u^{0}\, u^{\mu} \label{eq:00008} \tag{8} \]
Inicialmente vamos a llevar el análisis más extenso bajo el supuesto: \(u^{0},\, u^{1},\, u^{2},\, u^{3} \ll 1\,\), \(\,u^{4} \sim 1\,\) (Aproximación II). Esto condiciona a la materia en movimiento a mantener, además de una baja velocidad, una carga específica \(\,\dfrac{\rho_{0}}{\mu_{0}}\,\) muy pequeña; porque debido a que \(\,d\,\sigma^{\, 2} \sim d\,s^{\, 2}\,\), será \(\,v^{\,\rho} \sim u^{\,\varrho}\,\), entonces de \((\ref{eq:00008})\) se deduce, siempre que también se establezca6 \(\,\alpha \; = \, \sqrt{\dfrac{\varkappa}{\;2\;}} = \; 3.06 \cdot 10^{-14}\,\) con anticipación: \[ \rho_{0} = \dfrac{\varkappa}{\;\alpha\;}\,\mu_{\, 0}\,u^{0} = 2\, \alpha\, \mu_{\, 0}\, u^{0} \ll \mu_{\, 0}\,. \label{eq:0008a} \tag{8a} \]
Pero sobre todo esta ecuación nos enseña que en este caso podemos entender la carga eléctrica esencialmente como la quinta componente del momentum de la masa que se »desplaza transversalmente« respecto al espacio \(\,x^{0} = \text{constante}\,\): Con esto parece que se ha completado una nueva fusión de dos conceptos fundamentales normalmente heterogéneos.
Por último, dado que en la Aproximación II son \(\,T_{0\,0}\, ,\, T_{1\,1}\, ,\, T_{2\,2}\, ,\, T_{3\,3} \sim 0\,\), de acuerdo a \((\ref{eq:00007})\), será: \[ T = g^{\, i\,k} \; T_{i\,k} = - \, T_{4\,4} = - \,\mu_{\,0}\,, \label{eq:00009} \tag{9} \] por eso para la forma habitual de las Ecuaciones de Campo de Tipo \(1\,\): \[ R_{\, 0\,0} = - \, R_{\,4\,4} = \dfrac{\varkappa}{\;2\;}\,\mu_{\, 0}\,. \label{eq:00010} \tag{10} \]
Así, según \((\ref{eq:00006})\), el Potencial \(\,\mathfrak{g}\,\) en la esquina resulta ser esencialmente un Potencial Gravitacional negativo, mientras que \(\,\mathfrak{G} = \dfrac{\,g_{\,4\,4}\,}{2}\,\) conserva su antiguo significado.
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Entonces, una vez que se dispone de manera satisfactoria de las cantidades representativas de las Ecuaciones de Campo, se llega a la cuestión siguiente de si las Ecuaciones de Movimiento »Geodésicas« en \(\,R_{5}\,\): \[ \dot{u}^{l} = \dfrac{\,d\, u^{l}\,}{\,d\, s\,} = \Gamma^{\,l}_{r\,s}\, u^{r}\, u^{s} \label{eq:00011} \tag{11} \] también representan ahora el movimiento de la materia cargada en el Campo Gravitatorio y Electromagnético de forma fiel a la experiencia. En la aproximación II, este es fácilmente el caso: Debido a la intercambiabilidad de \(\,d\, s\,\) y \(\,d\, \sigma\,\), si se obtiene en virtud de \((\ref{eq:00003})\): \[ \bar{v}^{\,\lambda} = \dfrac{\,d\, v^{\,\lambda}}{d\,\sigma} = \Gamma^{\,\lambda}_{\varrho\,\sigma}\,v^{\,\varrho}\,v^{\,\sigma} + 2\,\alpha\,F^{\,\lambda}_{\varkappa}\,u^{0}\,v^{\,\varkappa} - \mathfrak{g}_{\,\boldsymbol{\cdot}\,\lambda}\,{u^{0}}^{^{2}} \,, \label{eq:0011a} \tag{11a} \] es decir, debido a la pequeñez del término con \(\,{u^{0}}^{^{2}}\,\) para la Densidad de la Fuerza ponderomotriz: \[ \pi^{\lambda} \, = \, \mu_{0}\,\bar{v}^{\,\lambda} \, = \, \Gamma^{\,\lambda}_{\varrho\,\sigma}\, T^{\,\varrho\,\sigma} + F^{\,\lambda}_{\varkappa}\, \boldsymbol{{\rm I}}^{\varkappa}\, \Big(\text{se tomó }\alpha \, = \sqrt{\dfrac{\,\varkappa\,}{\,2\,}} \text{; ver nota}\Big). \label{eq:00012} \tag{12} \] Así, la fuerza total se divide por si misma en una parte gravitatoria y otra electromagnética de la forma habitual.
Finalmente, para la componente \(0\) de \((\ref{eq:00011})\) solamente queda: \[ \dot{u}^{0} = \,\alpha\;\,{\sum}_{\,4\,4} = 2\,\alpha \, q_{\,4\,\cdot\,4}\,, \label{eq:0011b} \tag{11b} \] por lo que, en la cuasiestática condicionada por la Aproximación II, \(\,\dfrac{d}{d\,x^{\,4}}\left(\dfrac{\,\rho_{0}\,}{\,\mu_{0}\,}\right)\) \( = \; 2\,\varkappa\,q_{\,4\,\cdot\,4}\,\)7 será pequeña en la ordenada superior: Con esto la constancia exigida a \(\,\rho_{0}\,\) parece estar garantizada.
De manera que, también para las ecuaciones de movimiento, el campo asociado permanece irrelevante en nuestra aproximación.
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Si la Aproximación II corresponde a la realidad, entonces la Teoría de Unificación propuesta se podría implementar satisfactoriamente en sus principales características, citadas anteriormente: Un Tensor de Potencial único genera un Campo Universal que bajo condiciones normales se divide en una parte gravitatoria y otra eléctrica.
Sin embargo, ahora la Materia en sus bloques finales de construcción por lo menos no está en absoluto débilmente cargada; Su »Quietud en lo Macroscópico«, en palabras de H. Weyl, contrasta con su »Agitación en lo Microscópico« y esto es válido, en la visión ya expuesta, particularmente para el nuevo parámetro del mundo \(\,x^{0}\,\): En el electrón o el núcleo de \(H\) ciertamente \(\,\dfrac{\rho_{0}}{\mu_{\, 0}}\,\) y por consiguiente la componente de »velocidad« \(\,u^{\, 0}\,\) no es ¡nada menos que pequeño! Por tanto, en la forma condicionada por la Aproximación II, la teoría puede, a lo sumo, agrupar fenomenológicamente de una manera aproximada los acontecimientos macrofísicos y la cuestión fundamental es si incluye, según su aplicabilidad, a precisamente estas partículas.
Pero si ahora intentas describir el Movimiento del Electrón mediante una geodésica en \(\,R_{5}\,,\,\) entonces, uno se encontrará inmediatamente con una grave dificultad 8 que amenaza con derrumbar la estructura construida. En resumen, consiste en el hecho de que cuando se transfieren rígidamente las suposiciones anteriores, para el electrón, debido a \(\,\dfrac{\,e\,}{\,m\,} = 1.77 \cdot {10}^{\,7}\) (reducido a segundo-luz), el \(\,\mu^{\, 0}\,\) será de un orden de magnitud tan enormemente elevado que el último término en \((\ref{eq:0011a})\), en vez de desaparecer, adquiere un valor superior a todo, que habla en contra de toda experiencia, siempre que también todo lo demás permanezca formalmente igual. Ahora, aunque la transición a una gran \(\,\mu^{\, 0}\,\) requiere de todos modos modificaciones (por lo que se omite la sustituibilidad de \(\,d\, s\,\) por \(\,d\,\sigma\,\)), sin embargo parece que apenas será posible realizar la teoría únicamente dentro del marco antiguo sin una nueva hipótesis.
En cambio creo --- con todas las reservas --- ver un camino abierto en la siguiente dirección , que, si nos conduce a la meta, probablemente abriría un punto de vista todavía más satisfactorio. Puesto que la Materia generadora del campo, a velocidades no demasiado grandes incluso para cualquier \(\,\mu^{\,0}\,\), sigue siendo \(\,R_{\,0\,0} \sim \, - R_{\,4\,4}\,\), los dos términos de tipo gravitatorio en \((\ref{eq:0011a})\) toman signos opuestos cuando se fija adecuadamente el carácter de realidad de \(\,x^{\,0}\,\), hasta ahora aún completamente irrelevante, y al abandonar la ya algo cuestionable constante gravitatoria \(\,\varkappa\,\) parece entonces materializarse una reconciliación de los órdenes de magnitud opuestos, en la que la gravitación permanece como un tipo de efecto diferencial. Este camino se destaca por la perspectiva de poder asignar a esta constante, el papel de una cantidad estadística. Sin embargo, por el momento todavía se puede pasar ligeramente por alto las consecuencias de esta hipótesis; incluso hay todavía otras posibilidades para echar un vistazo. En general, todo Ansatz que pretenda una validez universal esta de hecho amenazado por la Esfinge de la Física moderna, la Teoría Cuántica.
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A pesar de apreciar plenamente las dificultades mencionadas, tanto físicas como las epistemológicas, que se acumulan contra el concepto aquí desarrollado, se hace difícil, de creer, que en todas aquellas relaciones, cuya uniformidad formal es difícil de superar, solo una caprichosa coincidencia este siempre impulsando su tentador juego. Sin embargo, si alguna vez se confirmara que detrás de estas supuestas conexiones se esconde algo más que solamente un formalismo vacío, entonces eso significaría definitivamente un nuevo triunfo para la Teoría de la Relatividad General de Einstein , de cuya análoga Aplicación a un Mundo de cinco dimensiones se ha tratado aquí.
Notas de pie de pagina
- Actas de las Reuniones, Acad. Alemana d. Ciencias en Berlín. 1918 pág. 465. Volver
- Véase también H. Thirring. Phys. Zeitschrift. Vol. 19. 1918. pág. 204}. Volver
- Los índices separados por un punto, pretenden indicar la diferenciación con respecto a los parámetros de mundo asociados: \(\;q_{\,\varkappa\,\cdot\,\lambda} \equiv \partial\, q_{\,\varkappa}/\partial x_{\lambda}\) ; \(g_{\,\varkappa\,\lambda\,\cdot\,\mu} \equiv \partial\, g_{\varkappa\,\lambda}/\partial x^{\mu}\). Volver
- Los índices latinos siempre deben ir desde \(\, 0\,\), los griegos sólo desde \(\, 1\,\) hasta \(\, 4\,\). Volver
- Representado en cuatro dimensiones. Volver
- Por causa de las Ecuaciones de Movimiento; véase la sección siguiente. Volver
- Compárese con \((\ref{eq:0008a})\) Volver
- Debo la referencia sobre la inconsistencia siguiente, al valioso interés del Sr. Einstein en el desarrollo de los planteamientos anteriores. Volver
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