Espacio y Tiempo (Raum und Zeit) Edicion Especial - Hermann Minkowski (1908)
CIENTÍFICOS NATURALES EN COLONIA,
EL 21 DE SEPTIEMBRE DE 1908.
POR
HERMAN MINKOWSKI
ASÍ COMO UN PRÓLOGO POR A. GUTZMER
IMPRESO Y PUBLICADO POR B. G. TEUBNER
1909
La conferencia sobre "Espacio y Tiempo" que Hermann Minkowski pronunció en la Reunión de Médicos y Científicos Naturales Alemanes en Colonia, constituye la última de sus geniales creaciones. Lamentablemente, no se le ha concedido completar la ampliación más fina de su audaz proyecto, una mecánica, en la que el tiempo está coordinado con las tres dimensiones del espacio. Porque, el 12 de enero de este año, un destino trágico ha arrebatado abruptamente al autor de la ciencia, de sus seres queridos y de sus amigos en el apogeo de su vida y de su obra, estimado por igual como hombre y como investigador.
Este entusiasmado y comprensivo interés, que había despertado su conferencia, llenó de satisfacción interior a Minkowski, y él desearía que sus planteamientos fueran accesibles a círculos más amplios mediante una edición especial. Es un doloroso deber de piedad y amistad para la librería Editorial de B. G. Teubner y el que suscribe, cumplir por la presente este último deseo del difunto.
Halle a. S., 20 de Febrero de 1909.
A. Gutzmer
¡Muy Honorables! Las ideas sobre el Espacio y el Tiempo, que me gustaría desarrollar para ustedes, han crecido en terrenos de la física experimental. En ella reside su fuerza. Su tendencia es radical. A partir de ahora, el Espacio por si mismo y el Tiempo por si mismo, deberán de hundirse completamente en las sombras, y solamente una especie de unión de ambos podrá preservar su independencia.
En primer lugar, me gustaría explicar como se podría llegar a cambiar las ideas sobre el Espacio y el Tiempo, desde la mecánica aceptada actualmente, probablemente a través de una consideración puramente matemática. Las ecuaciones de la Mecánica Newtoniana muestran una doble invarianza. Una es, cuando la base utilizada en el sistema de coordenadas espaciales se somete a un arbitrario cambio de posición, su forma permanece inalterada; la segunda, cuando se hace cambios en su estado de movimiento, es decir, le imprimimos cualquier traslación uniforme; incluso el punto cero del tiempo no desempeña ningún papel. Uno está acostumbrado a considerar los axiomas de la geometría como terminados cuando uno se siente preparado para los axiomas de la Mecánica, y probablemente por eso estas dos invarianzas rara vez se mencionan al mismo tiempo. En cada una de ellas, está implicado un cierto grupo de transformaciones para las ecuaciones diferenciales de la Mecánica. La existencia del primer grupo se puede ver como una característica fundamental del espacio. El segundo grupo se penaliza, por preferencia, despreciándolo para superar fácilmente su significado al respecto, de que aquí a partir de los fenómenos físico nunca se podrán decidir; si el espacio, que se presupone en reposo, no está situado finalmente en una traslación uniforme. Así estos dos grupos llevan una existencia completamente separada, uno al lado del otro. Su carácter completamente más heterogéneo puede haberles disuadido de componerlos. Pero, precisamente, el grupo completo compuesto como un todo, nos proporciona el que pensar al respecto.
Tenemos la intención de buscar ejemplificar estas relaciones gráficamente. Sean \(x\), \(y\), \(z\) las coordenadas rectangulares para el espacio y \(t\) denota el tiempo. Los objetos de nuestra percepción siempre están vinculados solamente a lugares y tiempos. Nadie se ha fijado en un espacio como lo contrario de un tiempo, un tiempo como lo contrario de un espacio. Sin embargo todavía estoy respetando el dogma; que el Espacio y el Tiempo tienen cada uno un significado independiente. Quiero, a un punto del espacio respecto de un punto en el tiempo, es decir, un sistema de valores \(x\), \(y\), \(z\), \(t\); llamarlo un punto del mundo. La multiplicidad de todos los sistemas de valores \(x\), \(y\), \(z\), \(t\) concebibles, debería llamarse el mundo. Yo podría, con una tiza más audaz, proyectar los cuatro ejes del mundo en la pizarra. Ya un eje dibujado se compone de ruidosas moléculas oscilantes y permite asimismo el recorrido de la tierra en el espacio, así que ya existe bastante de abstracción en si; esa abstracción ligeramente mayor asociada con la 4-cantidad, no hará ningún daño al matemático. Para no dejar un vacío absoluto en ninguna parte, tratemos de imaginar que algo perceptible esta presente por todas partes y en todo momento. Para no decir materia o electricidad, quisiera utilizar para ese algo la palabra sustancia. Dirigimos nuestra atención sobre un punto de esa sustancia existente en el punto de mundo \(x\), \(y\), \(z\), \(t\) y nos preguntamos si somos capaces de reconocer a este punto sustancial, en cada uno de los otros tiempos. Un elemento de tiempo \(dt\) puede corresponder a los cambios \(dx\), \(dy\), \(dz\) de las coordenadas espaciales de este punto sustancial. Obtenemos entonces, como imagen, una curva en el mundo, por así decirlo, para el eterno curso de la vida del punto sustancial; una linea de mundo, cuyos puntos se dejan relacionar claramente con el parámetro \(t\), desde \(-\infty\) hasta \(+\infty\). El mundo entero aparece disuelto en dichas líneas de mundo, y me gustaría anticipar inmediatamente que, según mi opinión, las leyes físicas deberían encontrar su más perfecta expresión como interrelaciones entre estas líneas de mundo.
A través de los conceptos de Espacio y Tiempo, entran de forma separada la variedad \(x\), \(y\), \(z\) para \(t = 0\) y sus dos lados \(t>0\) y \(t<0\). Si, por motivos de simplicidad, mantenemos fijo el punto cero del Espacio y Tiempo, entonces significa que podemos someter los ejes \(x\), \(y\), \(z\) en \(t = 0\), del primer grupo mencionado de la Mecánica, a una rotación cualquiera alrededor del punto cero conforme a las transformaciones lineales homogéneas de la expresión \[ x^2 + y^2 + z^2 \] en sí. Sin embargo, en el segundo grupo significa que también podemos reemplazar \[ x,\; y,\; z,\; t \quad \text{ por } \quad x - \alpha t, \; y - \beta t, \; z - \gamma t, \; t \] con cualquier constante \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma,\;\) sin cambiar la expresión de las leyes mecánicas. Según esto, se puede dar al eje temporal una dirección completamente arbitraria después de la mitad superior del mundo, es decir \(t>0\). Ahora, ¿qué tiene que ver la exigencia de ortogonalidad en los ejes espaciales con esta completa libertad del eje temporal hacia la parte de arriba?
Para establecer la conexión, tomaremos un parámetro \(c\) positivo y consideraremos esta estructura \[ c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 1 . \] Esta se compone de dos cuencos separados por \(t = 0\), análogo a un hiperboloide de dos hojas. Vamos a considerar el cuenco en la región \(t>0\) y pongamos ahora esas transformaciones lineales homogéneas de \(x\), \(y\), \(z\), \(t\) en cuatro nuevas variables \(x', y', z', t'\), las que en consecuencia serán la expresión para este cuenco en las nuevas variables. A estas transformaciones, obviamente, pertenecen las rotaciones de los ejes espaciales alrededor del punto cero.
Conseguiremos una completa comprensión del resto de esas transformaciones, si contemplamos tomar una de entre ellas, en la que \(y\) y \(z\) permanezcan invariantes. Dibujaremos la sección de este cuenco (Fig. 1) en el plano de los ejes \(x\) y \(t\); la rama superior de la hipérbola \(c^2 t^2- x^2 = 1\) con sus asíntotas. Además, voy a inscribir un radio vector cualquier \(0A'\) en esta rama de la hipérbola, desde el punto cero \(0\) hacia la tangente en \(A'\), colocada en la hipérbola hasta la intersección \(B'\) con la asíntota de la derecha: \(0A'B'\), para completar el paralelogramo \(0A'B'C'\), por último el subsiguiente todavía \(B'C'\) se lleva hasta la intersección \(D'\) con el eje \(x\). Vamos a tomar ahora \(0C'\) y \(0A'\) como los ejes de las coordenadas \(x'\), \(t'\) paralelas con escalas \(0C' = 1\), \(0A' = 1/c\), entonces esa rama de la hipérbola adquiere otra vez la expresión \(c^2 t'^{2} - x'^{2} = 1\), \(t' > 0\), y el traspaso de \(x, y, z, t\) a \(x', y, z, t'\) será una de las transformaciones en cuestión. Ahora, tomaremos a las aún transformaciones caracterizadas, añadir los desplazamientos arbitrarios del punto cero del espacio y tiempo, y así constituir un grupo de transformaciones que obviamente aún dependerán del parámetro \(c\), que lo denoto con \(G_c\).
Dejamos ahora que \(c\) crezca hacia el infinito, de este modo \(1/c\) convergerá a cero, entonces es claro a partir de la figura descrita que la rama de la hipérbola se arrima cada vez más al eje \(x,\) el ángulo de la asíntota se ensancha a uno alargado, esta transformación especial en el límite se convierte en uno de este tipo: en el que el eje \(t'\) puede tener una dirección cualquiera hacia arriba y \(x'\) se aproxima a \(x\) cada vez con mayor precisión. Con respecto a esto, está claro que de hecho el grupo \(G_c\) en el límite para \(c = \infty\), es decir como grupo \(G_{\infty}\), será precisamente aquel grupo completo correspondiente a la mecánica newtoniana. En esta situación, y dado que \(G_c\) es matemáticamente más fácil de entender que \(G_{\infty},\) seguramente un matemático de imaginación más libre podría haber sido capaz de incurrir en esa idea; que al final los fenómenos naturales poseen en realidad una invarianza, no en el grupo \(G_{\infty}\) sino más bien en un grupo \(G_c\) con un determinado \(c\) finito, extremadamente grande solo en las unidades de medida habituales. Una intuición así podría haber sido un extraordinario triunfo de la matemática pura. Ahora, que la matemática ya sólo expresa aquí "el ingenio de la escalera", aún le queda la satisfacción que ella, gracias a sus afortunados antecedentes con sus sentidos agudizados en libre vista panorámica, es capaz de capturar las profundas consecuencias de semejante remodelación de nuestra concepción de la naturaleza sobre el terreno.
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