Sobre el Campo Gravitacional de un Punto de Masa Segun la Teoria Einsteniana - Karl Schwarzschild (1916)
Karl Schwarzschild (1916)
§\(1\) El Sr. Einstein ha planteado, en su trabajo sobre el movimiento del perihelio de Mercurio (véase las Actas de la Reunión del 18 de Noviembre de 1915), el siguiente problema:
Un punto se mueve según el requisito \[ \begin{align}\label{ecu:0001} &\text{dónde} &\hspace{1.0cm} \left. \begin{aligned} &\delta \;\,\int \, d\, s = 0 \,, \\[4mm] d\, s = &{\sqrt{\,\sum \; g_{\mu\,\nu}\, dx_{\mu}\,dx_{\nu}}}\qquad {\mu\,,\,\nu = 1,2,3,4} \end{aligned} \; \right\} && \tag{1} \end{align} \] así \(\,g_{\mu\, \nu}\,\) representan funciones de las variables \(\,x\,\), y durante la variación las variables \(\,x\,\) en el punto de inicio y final del camino de integración se mantienen fijas. Entonces, en palabras breves, el punto se mueve sobre una línea geodésica en la variedad caracterizada por ese elemento de línea \(\,ds\,\).
La ejecución de la variación da como resultado las ecuaciones de movimiento del punto \[ \begin{equation}\label{ecu:0002} \dfrac{d^{2}\,x_{\alpha}}{d\,s^{2}} = {\underset{\mu,\,\nu}{\sum}} \,\Gamma_{\mu\,\nu}^{\,\alpha}\, \dfrac{d\,x_{\mu}}{d\,s}\, \dfrac{d\,x_{\nu}}{d\,s}\,,\quad {\alpha\,,\,\beta = 1,2,3,4} \tag{2} \end{equation} \] donde \[ \begin{equation}\label{ecu:0003} \Gamma_{\mu\,\nu}^{\,\alpha} = -\,\dfrac{\,1\,}{\,2\,} \;{\underset{\beta}{\sum}}\; g^{\alpha\, \beta}\left(\, \dfrac{\partial\,g_{\mu\, \beta}}{\partial\,x_{\nu}} + \dfrac{\partial\,g_{\nu\, \beta}}{\partial\,x_{\mu}} - \dfrac{\partial\,g_{\mu\, \nu}}{\partial\,x_{\beta}}\right) \tag{3} \end{equation} \] y \(\,g^{\alpha\, \beta}\,\) representa la subdeterminante1 coordinada2 y normalizada respecto a \(\,g_{\alpha\, \beta}\,\), que se encuentran en la determinante \(\,\left|\;g_{\mu\, \nu}\,\,\right|\,\).
Entonces de acuerdo con la Teoría de Einstein, este es ahora el movimiento de un punto sin masa en el campo gravitacional de una masa situada en el punto \(\,x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0\,\) siempre que las »Componentes del Campo Gravitacional« \(\,\Gamma \,\) satisfagan en todas partes las »Ecuaciones de Campo« \[ \begin{equation}\label{ecu:0004} {\underset{\alpha}{\sum}}\;\dfrac{\partial\,\Gamma_{\mu\, \nu}^{\,\alpha}}{\partial\, x_{\alpha}} + {\underset{\alpha\, \beta}{\sum}}\;\Gamma_{\mu\, \beta}^{\,\alpha}\;\Gamma_{\nu \alpha}^{\,\beta} = 0 \tag{4} \end{equation} \] con excepción del punto \(\,x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0\,,\,\) y cuando al mismo tiempo se cumpla con la "ecuación determinante"3 \[ \begin{equation}\label{ecu:0005} \left|\;g_{\mu\, \nu}\;\right| = -\, 1. \tag{5} \end{equation} \]
Las ecuaciones de campo conjuntamente con la ecuación determinante tienen la propiedad fundamental, de que ellas conservan su forma cuando en lugar de \(\,x_{1} ,\,x_{2} ,\,x_{3} ,\,x_{4} \,\) se sustituyen por cualquier otra variable4, solo si el determinante de la sustitución5 es igual a \(1\).
Hacemos que \(\,x_{1} ,\,x_{2} ,\,x_{3} \,\) representen las coordenadas rectangulares, \(\,x_{4} \,\) el tiempo, además la masa en el punto cero debe ser invariable en el tiempo y el movimiento en el infinito debe ser uniformemente rectilíneo, entonces, conforme a la numeración del documento previamente citado del Sr. Einstein, p. 833, aún se deben de cumplir los siguientes requisitos:
- Todas las componentes son independientes del tiempo \(\,x_{4} \,\).
- Las ecuaciones \(g_{\rho\, {4}} = g_{{4}\,\rho} = 0\) se aplican exactamente para \(\rho = 1,2,3.\)
- La solución es espacialmente simétrica alrededor del punto inicial del sistema de coordenadas en el sentido de que, si \(\,x_{1}\,,\,x_{2}\,,\,x_{3}\,\) se someten a una transformación ortogonal (rotación) se vuelve a encontrar la misma solución.
- Los \(\,g_{\mu\, \nu}\,\) desaparecen en el infinito, con la excepción de los siguientes cuatro valores límite, distintos de cero: \[ g_{_{44}} = 1,\;\quad g_{_{11}} = g_{_{22}} = g_{_{33}} = -\, 1. \]
El problema es, encontrar un elemento de línea con dichos coeficientes para hacer que se cumplan las ecuaciones de campo, la ecuación determinante y estos cuatro requisitos.
§\(2\) El Sr. Einstein ha demostrado que este problema, en la primera aproximación, conduce a la ley de Newton y que la segunda aproximación reproduce correctamente la conocida anomalía en el movimiento del perihelio de Mercurio. %El siguiente cálculo proporciona la solución estricta al problema. El siguiente cálculo da la solución estricta del problema. Siempre es grato tener a disposición las soluciones estrictas de forma más sencilla. Al mismo tiempo, es más importante que ese cálculo proporcione la certeza inequívoca de la solución, sobre la cual el tratamiento del Sr. Einstein aún dejaba dudas y que tal como se presenta a continuación parece que, en efecto, solo se podría demostrar, con dificultad, mediante un método de aproximación de este tipo. Así que las siguientes líneas conducen a eso, al permitir que el resultado del Sr. Einstein brille con mayor pureza.
§\(3\) Si denominamos al tiempo, \(\,t\,;\,\) a las coordenadas rectangulares, \(\,x,\,y,\,z\,;\,\) entonces el elemento de línea más general que satisface los requisitos \(1-3\) es obviamente el siguiente \[ d\, s^{2} = Fd\, t^{2} - G \left( d\, x^{2} + d\, y^{2} + d\, z^{2} \right) - H \left(x\, d\, x + y\, d\, y + z\, d\, z \right)^{2} \] donde \(\,F,\,G,\,H\,\) son funciones de \(\,r = {\sqrt{\,x^{2} + y^{2} + z^{2}}}\,\).
El requisito (4) requiere: Para \(\,r = \infty :\,F = G = 1,\,H = 0\,\).
Si se pasa a coordenadas polares,6 de acuerdo con \(\;x = r\,\sin\vartheta\cos\phi\), \(\;y = r\,\sin\vartheta\sin\phi\), \(\;z = r\,\cos\vartheta\), el mismo elemento de línea será: \[ \begin{equation}\label{ecu:0006} \begin{aligned} d\, s^{2} & = F\;d\,t^{2} - G\left(d\, r^{2} + r^{2}\,d\, \vartheta^{2} + r^{2}\,\sin^{2}\vartheta d\, \phi^{2}\right) - H\, r^{2}\,d\, r^{2}\\ & = F\;d\,t^{2} - \left(G + H\, r^{2}\right)d\, r^{2} - G\, r^{2}\left(d\, \vartheta^{2} + \sin^{2}\vartheta d\, \phi^{2}\right). \end{aligned} \tag{6} \end{equation} \]
No obstante, el elemento de volumen en coordenadas polares es igual a \(\,r^{2}\sin \vartheta dr\,d\vartheta \,d\phi\,\), el determinante funcional7 de las antiguas coordenadas y de las nuevas \(\,r^{2}\sin \vartheta\,\) es diferente de \(1\,\); por lo que las ecuaciones de campo no podrían existir de forma invariante si se calcularan con estas coordenadas polares, se tendría que realizar una transformación complicada. Sin embargo, un artificio muy sencillo permite evitar dicha dificultad. Si uno establece \[ \begin{equation}\label{ecu:0007} x_{1} = {\dfrac{r^{3}}{3}}\,,\quad x_{2} = - \cos \vartheta\,,\quad x_{3} = \phi\,. \end{equation} \] Luego, para dicho elemento de volumen se aplica: \(\;r^{2}\, d\, r\,\sin\vartheta\, d\, \vartheta d\, \phi = \) \(d\, x_{1}\, d\, x_{2}\, d\, x_{3}\, .\) Por lo tanto, las nuevas variables son Coordenadas Polares con el determinante \(1\). Las cuales tienen las evidentes ventajas de las coordenadas polares para resolver el problema y si al mismo tiempo también se incluye \(\,t = x_{4} \,\), las ecuaciones de campo y la ecuación determinante consiguen permanecer de forma invariante.
En las nuevas coordenadas polares, el elemento de línea es \[ \begin{equation}\label{ecu:0008} d\, s^{2} = F\;d\, x_{4}^{2} - \left({\dfrac{G}{r^{4}}} + {\dfrac{H}{r^{2}}}\right)d\, x_{1}^{2} - G\,r^{2}\left[\,\dfrac{d\, x_{2}^{2}}{1 - x_{2}^{2}} + d\, x_{3}^{2}(1 - x_{2}^{2})\right], \tag{8} \end{equation} \] para el cual queremos escribir \[ \begin{equation}\label{ecu:0009} d\, s^{2} = f_{4} \,d\, x_{4}^{2} - f_{1} \,d\, x_{1}^{2} - f_{2}\; \dfrac{d\, x_{2}^{2}}{\,1 - x_{2}^{2}\,} - f_{3} \,d\, x_{3}^{2}\left(\,1 - x_{2}^{2}\,\right)\,. \tag{9} \end{equation} \] Entonces \(\,f_{1},\,f_{2} = f_{3},\,f_{4}\,\) son tres funciones de \(\,x_{1}\,\) que deben de cumplir las siguientes condiciones:
- Para \(\,x_{1} = \infty :\; f_{1} = \dfrac{1}{r^{4}} = (3\, x_{1})^{-4/3},\,f_{2} = f_{3} = r^{2} = (3\, x_{1} )^{2/3},\,x_{4} = 1\).
- La Ecuación Determinante: \(\,f_{1} \cdot f_{2} \cdot f_{3} \cdot f_{4} = 1\).
- Las Ecuaciones de Campo.
- Las \(\,f\,\) son continuas, excepto para \(\,x_{1} = 0\).
§\(4\) Para poder establecer las ecuaciones de campo, primero se tiene que formar las componentes del campo gravitacional correspondiente al elemento de línea \((\ref{ecu:0009})\). La manera más sencilla de hacerlo es formar las ecuaciones diferenciales de la línea geodésica mediante la ejecución directa de la variación y leer las componentes a partir de éstas. Las ecuaciones diferenciales de la línea geodésica, para ese elemento de línea \((\ref{ecu:0009})\), resultan directamente de la variación en la forma:
\[ \begin{equation*} \begin{aligned} 0 & = f_{1} \dfrac{d^{2}x_{1}}{ds^{2}} + \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial f_{4}}{\partial x_{1}} \left(\dfrac{dx_{4}}{ds}\right)^{2} + \dfrac{1}{2}{\dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\left({\dfrac{dx_{1}}{ds}}\right)^{2} - \dfrac{1}{2}{\dfrac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\left[{\dfrac{1}{1 - x_{2}^{2}}}\left({\dfrac{dx_{2}}{ds}}\right)^{2} + \left(1 - x_{2}^{2}\right)\left({\dfrac{dx_{3}}{ds}}\right)^{2}\right] \\ % 0 & = {\dfrac{f_{2}}{1 - x_{2}^{2}}}\,\dfrac{d^{2}\,x_{2}}{d\,s^{2}} + {\dfrac{\partial\, f_{2}}{\partial\, x_{1}}}\,{\dfrac{1}{1 - x_{2}^{2}}}\,{\dfrac{dx_{1}}{ds}}\,{\dfrac{dx_{2}}{ds}} + {\dfrac{f_{2} \,x_{2}}{\left(1 - x_{2}^{2}\right)^{2}}}\left({\dfrac{dx_{2}}{ds}}\right)^{2} + f_{2} \,x_{2} \left({\dfrac{dx_{3}}{ds}}\right)^{2} \\ % 0 & = f_{2} \left(1 - x_{2}^{2}\right)\dfrac{d^{2}\,x_{3}}{d\,s^{2}} + {\dfrac{\partial\, f_{2}}{\partial\, x_{1}}}\left(1 - x_{2}^{2}\right){\dfrac{dx_{1}}{ds}}{\dfrac{dx_{3}}{ds}} - 2f_{2} \,x_{2} {\dfrac{dx_{2}}{ds}}{\dfrac{dx_{3}}{ds}} \\ % 0 & = f_{4} \dfrac{d^{2}\,x_{4}}{d\,s^{2}} + \dfrac{\partial f_{4}}{\partial x_{1}} \dfrac{d\,x_{1}}{d\,s} \dfrac{d\,x_{4}}{d\,s}. \end{aligned} \end{equation*} \]
La comparación con \((\ref{ecu:0002})\) da las componentes del campo gravitacional. \[ \begin{gather*} \hspace{2mm} \begin{aligned} \Gamma_{11}^{1} & = - \dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\dfrac{1}{f_{1}}{\dfrac{\partial\, f_{1}}{\partial\, x_{1}}}\,,\quad \Gamma_{22}^{1} = + \dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\dfrac{1}{f_{1}}{\dfrac{\partial\, f_{2}}{\partial\, x_{1}}}{\dfrac{1}{1 - x_{2}^{2}}}\,, \\[2mm] % \Gamma_{33}^{1} & = + \dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\dfrac{1}{f_{1}}{\dfrac{\partial\, f_{2}}{\partial\, x_{1}}}\left(1 - x_{2}^{2}\right)\,, \\[1mm] % \Gamma_{44}^{1} & = - \dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\dfrac{1}{f_{1}}{\dfrac{\partial\, f_{4}}{\partial\, x_{1}}}\,, \\[2mm] % \Gamma_{21}^{2} & = - \dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\dfrac{1}{f_{2}}{\dfrac{\partial\, f_{2}}{\partial\, x_{1}}}\,,\quad \Gamma_{22}^{2} = - {\dfrac{x_{2}}{1 - x_{2}^{2}}}\,,\quad \Gamma_{33}^{2} = - x_{2} \left(1 - x_{2}^{2}\right), \\[1mm] % \Gamma_{31}^{3} & = - \dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\dfrac{1}{f_{2}}{\dfrac{\partial\, f_{2}}{\partial\, x_{1}}}\,,\quad \Gamma_{32}^{3} = + {\dfrac{x_{2}}{1 - x_{2}^{2}}}\,, \\[1mm] % \Gamma_{41}^{4} & = - \dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\dfrac{1}{f_{4}}{\dfrac{\partial\, f_{4}}{\partial\, x_{1}}} \end{aligned}\\ \text{(los restantes son cero).} \end{gather*} \]
Con una simetría rotacional alrededor del punto cero, es suficiente formar las ecuaciones de campo sólo para la línea ecuatorial \(\,\left(x_{2} = 0\right)\,\), para lo cual, como la diferenciación sólo se hace una vez, desde el principio se puede poner \(\,1 - x_{2}^{2}\,\) igual a \(1\) en cualquier lugar de las expresiones anteriores. Así, el cálculo de las ecuaciones de campo entonces entrega:
- ) \(\displaystyle \;{\dfrac{\partial}{\partial\, x_{1}}}\left({\dfrac{1}{f_{1}}}{\dfrac{\partial\, f_{1}}{\partial\, x_{1}}}\right) = \dfrac{\,1\,}{\,2\,} \left({\dfrac{1}{f_{1}}}{\dfrac{\partial\, f_{1}}{\partial\, x_{1}}}\right)^{2} + \left({\dfrac{1}{f_{2}}}{\dfrac{\partial\, f_{2}}{\partial\, x_{4}}}\right)^{2} + \dfrac{\,1\,}{\,2\,}\left({\dfrac{1}{f_{4}}}{\dfrac{\partial\, f_{4}}{\partial\, x_{1}}}\right)^{2},\)
- ) \(\displaystyle \;{\dfrac{\partial}{\partial\, x_{1}}}\left({\dfrac{1}{f_{1}}}{\dfrac{\partial\, f_{2}}{\partial\, x_{1}}}\right) = \,2 + {\dfrac{1}{f_{1} f_{2}}}\left({\dfrac{\partial\, f_{2}}{\partial\, x_{1}}}\right)^{2},\)
- ) \(\displaystyle \;{\dfrac{\partial}{\partial\, x_{1}}}\left({\dfrac{1}{f_{1}}}{\dfrac{\partial\, f_{4}}{\partial\, x_{1}}}\right) = \hspace{11mm}{\dfrac{1}{f_{1} f_{4}}}\left({\dfrac{\partial\, f_{4}}{\partial\, x_{1}}}\right)^{2}.\)
Aparte de estas tres ecuaciones, las funciones \(\,f_{1} ,\,f_{2} ,\,f_{4} \,\) también deben de satisfacer la ecuación determinante.
- ) \(\;f_{1} f_{2}^{2} f_{4} = 1 \quad\text{ o:}\quad \dfrac{1}{f_{1}}\, \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} + \dfrac{2}{f_{2}}\, \dfrac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} + \dfrac{1}{f_{4}}\, \dfrac{\partial f_{4}}{\partial x_{1}} = 0\,.\)
- ') \(\;\dfrac{\partial}{\partial\, x_{1}} \left({\dfrac{1}{f_{4}}}\,\dfrac{\partial f_{4}}{\partial x_{1}}\right) = \dfrac{1}{f_{1}f_{4}} \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \dfrac{\partial f_{4}}{\partial x_{1}}\,.\)
- '') \(\;\dfrac{1}{f_{4}}\,\dfrac{\partial f_{4}}{\partial x_{1}} = \alpha\, f_{1}\,,\;\) (\(\alpha\) Constante de integración)
La ecuación (b) se satisface por sí sola con las expresiones encontradas para \(f_{1} \) y \(f_{2}\), como fácilmente se comprueba al hacer el cálculo.
Con esto se satisface todos los requisitos excepto la Condición de Continuidad. \(f_{1}\) se vuelve discontinua, cuando también lo es \[ 1 = \alpha\,(3\,x_{1}\, + \,\rho)^{-1/3},\quad 3\,x_{1} = \alpha^{3}\,-\,\rho\,. \] Para que esta discontinuidad coincida con el punto cero, debe ser \[ \rho = \alpha^{3}\,. \tag{13} \] Por lo tanto, la condición de continuidad vincula de esta manera las dos constantes de integración \(\,\rho\,\) y \(\,\alpha\).
La solución completa a nuestro problema, ahora queda así: \[ f_{1} = \dfrac{1}{R^{^{4}}}\,\dfrac{1}{1\,-\,\alpha/R}\;,\quad f_{2} = f_{3} = R^{2}\;,\quad f_{4} = 1 \,-\,\alpha/R\,, \] donde se ha introducido la variable auxiliar \[ R = (3\,x_{1}\, + \,\rho)^{1/3} = \left(r^{3} + \, \alpha^{3}\right)^{1/3}\,. \]
Se coloca estos valores de las funciones \(f\) en la expresión \((\ref{ecu:0009})\) del elemento de línea y, al mismo tiempo, volvemos de nuevo a las coordenadas polares ordinarias entonces se obtiene el elemento de línea, que constituye la solución estricta del problema de Einstein:8 \[ ds^{2} = (1-\, \alpha/ R)\, d\, t^{2}-{\dfrac{dR^{2}}{1-\alpha/ R}}- R^{2} \left(d\vartheta^{ {2}} + \sin^{2} \vartheta d\phi^{2}\right) ,\, R \,{=}\, \left(r^{3} + \alpha^{3}\right)^{1/3}\,. \label{ecu:0014} \tag{14} \] La misma contiene una constante \(\alpha\), que depende del tamaño de la masa que se encuentra en el punto cero.
§\(5\) La unicidad de la solución ha surgido por sí misma a través del cálculo anterior. Se puede ver, que habría sido difícil de reconocer la unicidad a partir de un método de aproximación al estilo del Sr. Einstein, en lo siguiente: Previamente en \((\ref{ecu:0012})\), aún antes de haber aplicado la condición de continuidad, se había deducido: \[ f_{1} = {\dfrac{(\,3\,x_{1}\, + \,\rho\,)^{-4/3}}{1 - \alpha\,(\,3\,x_{1}\, + \,\rho\,)^{-1/3}}} = \dfrac{\left(r^{3} + \rho \right)^{-4/3} }{1 - \alpha \left(r^{3} + \rho \right)^{-1/3}}\,. \] Si \(\,\alpha\,\) y \(\,\rho\,\) son pequeños, entonces la expansión en series nos proporciona las magnitudes, a excepción de las de segundo orden: \[ f_{1} = {\dfrac{1}{r^{4}}}\,\bigg[\,1 + {\dfrac{\alpha}{r}} - 4/3\, {\dfrac{\rho}{r^{3}}}\,\bigg]\,. \] Esta expresión, junto con las desarrolladas correspondientemente para \(f_{2}\,,\hspace{4pt} f_{3}\,,\hspace{4pt} f_{4}\,\), satisface todos los requisitos del problema con la misma precisión. Además, dentro de esta aproximación el requisito de continuidad no ofrece nada nuevo, ya que las discontinuidades aparecen por sí mismas únicamente en el punto cero. Por lo tanto, las dos constantes \(\,\alpha\,\) y \(\,\rho\,\) tienden a permanecer arbitrarias, con lo que este problema quedaría físicamente indeterminado. La solución estricta enseña que en realidad, al continuar las aproximaciones, la discontinuidad no ocurre en el punto cero, sino en el punto \(\,r = \left(\alpha^{3} - \rho \right)^{1/3},\,\) y que se debe establecer precisamente \(\,\rho = \alpha^{3}\,\) para que la discontinuidad se desplace al punto cero. En la aproximación por serie de potencias de \(\,\alpha\,\) y \(\,\rho,\,\) uno ya debería de tener una muy buena visión general de la ley de coeficientes para reconocer la necesidad de esta conexión entre \(\,\alpha\,\) y \(\,\rho\).
§\(6\) Finalmente, hay que deducir todavía el movimiento de un punto en el campo gravitacional, la línea geodésica perteneciente al elemento de línea \((\ref{ecu:0014})\). A partir de estas tres circunstancias; que el elemento de línea es homogéneo en las diferenciales, y que sus coeficientes son independientes de \(\,t\,\) y \(\,\rho\,\,\) de la variación se obtiene inmediatamente tres integrales intermedias. Si nos limitamos igualmente al movimiento en el plano ecuatorial \(\,(\,\vartheta = 90^{\circ}\,,\,\;d\,\vartheta = 0\,)\,,\,\) entonces estas integrales intermedias se expresarán como: \[ (1 -\, \alpha/R)\left( \dfrac{d\,t}{d\,s} \right)^{ {2}} - \,{\dfrac{1}{1 -\, \alpha /R}}\left(\dfrac{d\,R}{d\,s}\right)^{ {2}} -\, R^{2}\left(\dfrac{d\,\phi}{d\,s} \right)^{ {2}} = \, \text{const.} = h\,, \label{ecu:0015} \tag{15} \] \[ R^{2}\, \dfrac{d\,\phi}{d\,s} = \text{const.} = c\,,\label{ecu:0016} \tag{16} \] \[ (1 -\, \alpha/R)\,\dfrac{d\,t}{d\,s} = \text{const.} = 1 \;(\text{Determina la unidad de tiempo}). \label{ecu:0017} \tag{17} \] Esto da como resultado \[ \left(\dfrac{d\,R}{d\,\phi}\right)^{ {2}} + R^{2}\,(1 - \alpha/R) = {\dfrac{R^{4}}{c^{2}}}\,[1 - h\, (1 - \alpha /R)] \] o para \(\,1/R = x\,\) \[\label{ecu:0018} \left(\dfrac{d\,x}{d\,\phi}\right)^{ {2}} = \dfrac{1 - h}{c^{\,2}} + \dfrac{h\,\alpha}{c^{\,2}}\, x - x^{\,2} + \alpha\,x^{3}\,. \tag{18} \]
Si se introducen las designaciones: \(\,\dfrac{c^{2}}{h} = B\,\), \(\,\dfrac{1 - h}{h} = 2A\,,\,\) entonces esta es idéntica a la ecuación (11) del documento previamente citado del Sr. Einstein y da la anomalía observada del perihelio de Mercurio.
En general, la aproximación del Sr. Einstein para la orbita se convierte en la solución estricta solo cuando se introduce la cantidad \[ R = \left(r^{3} + \alpha^{3}\right)^{1/3} = r\left(1 + {\dfrac{\alpha^{3}}{r^{3}}}\right)^{1/3} \] en lugar de \(r\). Dado que \(\,{\dfrac{\alpha}{r}}\,\) es casi igual al doble del cuadrado de la velocidad del planeta (unidad en velocidad luz), entonces lo que está en paréntesis solo en magnitudes del orden de \(\,10^{-12}\,\) difiere de \(1\), incluso para Mercurio. Por tanto, \(\,R\,\) es prácticamente idéntico a \(\,r\,\) y la aproximación del Sr. Einstein es suficiente para las necesidades prácticas más lejanas.
Para concluir, se debe derivar la forma estricta de la tercera ley de Kepler para las órbitas circulares.
Según \((\ref{ecu:0016})\) y \((\ref{ecu:0017})\), para la velocidad angular \(\,n = {\dfrac{d\phi}{dt}}\,,\,\) cuando se introduce \(\,x = 1/R\,,\,\) se aplica
\[
n = c\, x^{\,2}\,(1 - \alpha\, x)
\]
Para las órbitas circulares, tanto \(\,\dfrac{d\,x}{d\,\phi}\,\) como \(\,\dfrac{d^{2}\,x}{d\,\phi^{2}}\,\) deben ser cero.
Según \((\ref{ecu:0018})\), esto dará
\[
0 = {\dfrac{1 - h}{c^{\,2}}} + {\dfrac{h\, \alpha}{c^{\,2}}}\,x - x^{\,2} + \alpha\, x^{3}\,,\;\quad 0 = {\dfrac{h\, \alpha}{c^{\,2}}} - 2 x + 3\alpha\, x^{\,2}\,.
\]
Eliminando \(\,h\,\) de estas dos ecuaciones, se obtiene
\[
\alpha = 2\, c^{{2}}\, x\,(1 - \alpha\, x)^{{2}}\,.
\]
Con esto se consigue
\[
n^{{2}} = {\dfrac{\alpha}{2}}\,x^{3} = {\dfrac{\alpha}{2R^{^{3}}}} = {\dfrac{\alpha}{2\left(\, r^{3} + \alpha^{3}\right)}}\,.
\]
La desviación de esta fórmula con respecto a la tercera ley de Kepler es completamente imperceptible hasta la superficie del Sol.
Sin embargo, para un punto de masa ideal, resulta que la velocidad angular no aumenta indefinidamente a medida que disminuye el radio de la órbita, como en el caso de la ley de Newton, sino que se aproxima a un cierto límite9
\[
n_{_0} = \dfrac{1}{\alpha\,\sqrt{2}}\,.
\]
(Para un punto con la masa del sol, la frecuencia de corte está alrededor de \(\,10^{4}\,\) entre segundo).
Si se aplican las mismas leyes a las fuerzas moleculares, este hecho podría ser de interés ahí.
Notas a la Traducción
- En el texto original (1916), un subdeterminante hace referencia a un "determinante menor" o un "menor" de una matriz. Volver
- El término coordinada se refiere a que la subdeterminante \(g^{\alpha\beta}\) está relacionada con la métrica \(g_{\alpha\beta}\), lo que implica que está vinculada con los elementos de la métrica y depende de ellos. Volver
- La ecuación determinante en la métrica de Schwarzschild expresa la magnitud del determinante del tensor métrico \(\,g_{\mu\,\nu}\,\) del espacio-tiempo, y tiene como objetivo establecer las condiciones bajo las cuales el espacio-tiempo se vuelve singular o presenta eventos horizontes (como el horizonte de even tos de un agujero negro). Volver
- En el texto original, la sustitución de variables se refiere al cambios de coordenadas en las ecuaciones de la Relatividad General, es decir cuando cambias las coordenadas espacio-temporales \(x_\alpha\) por otras como \(x'_\alpha\), mediante una transformación general de coordenadas. Volver
- El término determinante de la sustitución se refiere al determinante Jacobiano de la transformación de coordenadas que surge cuando cambias de un sistema de coordenadas a otro. Para que la transformación sea compatible con el principio de covarianza general es importante que el determinante Jacobiano sea igual a 1 es decir para que las ecuaciones de campo mantengan su invarianza. Volver
- En el texto original se emplea el término Polarkoordinaten cuya traducción es "coordenadas polares", sin embargo luego define y utiliza las coordenadas esféricas (Kugelkoordinaten). Es mi intención, en la medida de lo posible, seguir utilizando las mismas palabras del artículo original. Volver
- El Determinante Funcional también se denomina Determinante Jacobiano, en el texto \(\,x = r\,\sin\vartheta\cos\phi\), \(y = r\,\sin\vartheta\sin\phi\), \(\,z = r\,\cos\vartheta\). Por lo tanto el determinante funcional es: \[ \begin{aligned} \text{det} \,\dfrac{\partial\,(x,\,y,\,z,)}{\partial\,(r,\,\vartheta,\,\phi)} &= \text{det} \begin{pmatrix} \displaystyle\;\partial_{r}x & \displaystyle\partial_{_{\vartheta}}x & \displaystyle\partial_{\phi}x\;\\[2mm] \displaystyle\;\partial_{r}y & \displaystyle\partial_{_{\vartheta}}y & \displaystyle\partial_{\phi}y\;\\[2mm] \displaystyle\;\partial_{r}z & \displaystyle\partial_{_{\vartheta}}z & \displaystyle\partial_{\phi}z\; \end{pmatrix} \\[2mm] &= \text{det} \begin{pmatrix} \sin\vartheta\cos\phi & r\,\cos\vartheta\cos\phi & -r\,\sin\vartheta\sin\phi\,\\[2mm] \sin\vartheta\sin\phi & r\,\cos\vartheta\sin\phi & r\,\sin\vartheta\cos\phi\,\\[2mm] \cos\vartheta & -r\,\sin\vartheta & 0 \end{pmatrix} = r^{2}\sin\vartheta\,. \end{aligned} \] y el elemento de volumen \(d\, V\;\): \[ d\, V = \left| \;\text{det} \,\dfrac{\partial\,(x,\,y,\,z,)}{\partial\,(r,\,\vartheta,\,\phi)} \;\right|\, d\, r\,d\,\vartheta\,d\,\phi = r^{2} \sin\vartheta\,d\, r\, d\,\vartheta\,d\,\phi\,. \] Volver
- Esta es la "métrica Schwarzschild", la ecuación trascendental que describe el espacio-tiempo alrededor de un agujero negro esférico simétrico, sin carga y no rotativo. Para \(c=1\), \(G\) constante gravitacional, \(M\) masa del objeto central y dado el radio de Schwarzschild \(\alpha = \dfrac{2GM}{c^2} = 2GM = r_s\). \[ ds^{2} = \Big(1 - \dfrac{\alpha}{R}\Big)\, d\, t^{2} \,-\, \dfrac{1}{\Big(1 - \dfrac{\alpha}{R}\Big)}\, d\, R^{2} \,-\, R^{2} \, \big(d\, \vartheta^{2} + \sin^{2}\vartheta d\phi^{2}\big) \] Ademas, \(R = r\left(1 + \dfrac{\alpha^{3}}{r^3} \right)^{\dfrac{1}{3}}\). También de define \(d\, \Omega^2 = \big(d\, \vartheta^{2} + \sin^{2}\vartheta d\phi^{2}\big)\) como el elemento de área de la esfera unitaria en el espacio angular, es decir el espacio bidimensional de angulos \(\vartheta\) y \(\phi\) que define la posición angular de un punto en la esfera. Volver
- Sea \(\,n\,\) la velocidad angular, \(\,r\,\) el radio de la órbita del punto de masa ideal respecto de una masa central. En el marco de la teoria newtoniana la velocidad angular de un punto de masa en orbita alrededor de una masa central es \(\,n=\sqrt{\dfrac{GM}{r^3}}\,,\,\) de esta formula se puede deducir que si \(\,r\rightarrow 0\,\) la velocidad angular tiende al infinito. En el texto, Schwarzschild demuestra que cuando \(\,r \rightarrow 0\,\) la velocidad angular tiende a un limite: \[ n^{{2}} = \dfrac{\alpha}{2\left(\, r^{3} + \alpha^{3}\right)} \quad\Rightarrow\quad n^{{2}}_{_{r=0}} = \dfrac{\alpha}{2\left(\, \alpha^{3}\right)} = \dfrac{1}{2\,\alpha^{2}} \quad\therefore \quad n_{0} = \dfrac{1}{\alpha\,\sqrt{2}}\,. \] Esta diferencia es consecuencia de la descripción más precisa y completa que hace la Teoría General de la Relatividad de la gravedad en comparación con la Ley de Gravitación Universal de Newton. Volver
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