Los Fundamentos de la Teoria de la Relatividad General (Die Grundlage Der Allgemeinen Relativitaetstheorie), por Albert Einstein (1916 )

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En este artículo Albert Einstein nos presenta la Teoría de la Relatividad General, que extiende la relatividad especial, al incluir la gravedad como una manifestación de la curvatura del Espacio-tiempo.

Establece el Principio de Equivalencia, que postula que los efectos de un campo gravitatorio es localmente indistingible de los efectos de la aceleración uniforme. Einstein escribe:

Sea K un sistema de referencia... que se desplaza en línea recta y de manera uniforme. Considere a K' un segundo sistema de coordenadas que con respecto a K se encuentra en un movimiento de traslación uniformemente acelerado. Con respecto a K', una masa suficientemente separada de las demás realiza entonces un movimiento acelerado... ¿Puede un observador en reposo relativo a K' sacar la conclusión desde ahí, que se encuentra en un sistema de referencia "realmente" acelerado? Esta pregunta se debe responder negativamente, porque el comportamiento antes mencionado de las masas en movimiento libre, relativo a K', también se pueden interpretar de la siguiente manera: El sistema de referencia K' no está acelerado; pero en la región espacio-temporal considerada existe un campo gravitatorio que genera el movimiento acelerado de los cuerpos relativo a K'. Con... esta concepción... se permite... la existencia de un campo de fuerza (a saber, el campo gravitatorio) que tiene la extraña propiedad de impartir la misma aceleración a todos los cuerpos... desde el punto de vista físico... cada uno de los sistemas K y K' tienen el mismo derecho de ser considerados como "en reposo", o que están en igualdad de condiciones como sistemas de referencia para la descripción física de los procesos. De estas consideraciones se puede ver, que la implementación de la Teoría de la Relatividad General debe conducir simultáneamente hacia una teoría de la gravedad; puesto que se puede "generar" un campo gravitatorio mediante un simple cambio del sistema de coordenadas.

También establece que la gravedad es el resultado de la curvatura del espacio-tiempo. Escribe:

Entonces, un punto material libre se moverá de manera uniforme y en línea recta con respecto a este sistema. Si se introduce ahora nuevas coordenadas de Espacio-Tiempo x₁....x₄ por medio de una sustitución cualquiera, entonces en este nuevo sistema las g_μν ya no serán constantes sino funciones del Espacio-Tiempo. De manera simultánea el movimiento del punto de masa libre aparecerá en las nuevas coordenadas como una linea curva, no uniforme, por lo que esta ley del movimiento será independiente de la naturaleza del punto de masa en movimiento. Por lo tanto, interpretaremos este movimiento como uno que está bajo la influencia de un campo gravitatorio. Vemos la aparición de un campo gravitatorio supeditada a una variabilidad espacio-temporal de las g_στ.

El Tensor Métrico \(g_{\mu\nu}\), que generaliza el concepto de distancia en un espacio curvo y la estrucutura del Espacio-Tiempo.

La Ecuación de la Línea Geodésica, donde Einstein utiliza el cálculo variacional para derivar la ecuación: \[ \frac{d^{2} x_{\tau}}{ds^{2}} + \left\{{\mu\;\nu \atop \tau}\right\} \frac{dx_{\mu}}{ds} \frac{d x_{\nu}}{ds} = 0 \qquad\text{(Ec. 22, p. 792)} \]

Las Ecuaciones de Campo, que describen cómo la distribución de masa y energía en el espacio determinan la curvatura del Espacio-Tiempo. Un conjunto de 10 ecuaciones diferenciales parciales que relacionan el Tensor de Energía-Momentum (T_μν) con el Tensor Métrico (g_μν) del Espacio-Tiempo, según la notación de Einstein: \[ \frac{\partial \Gamma_{\mu\,\nu}^{\alpha}}{\partial x_{\alpha}} + \Gamma_{\mu\,\beta}^{\,\alpha}\, \Gamma_{\nu\,\alpha}^{\,\beta} = -\varkappa (T_{\mu\,\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\,\nu} T ) \qquad\text{(Ec. 53, p.808)} \] En su artículo, Einstein Escribe:

La Teoría de la Relatividad Especial nos ha llevado a la conclusión de que la masa inercial no es nada más que energía, que encuentra su completa expresión matemática en un Tensor simétrico de segundo orden: el Tensor de Energía. Por lo tanto, en la Teoría de la Relatividad General se tendrá que introducir también un Tensor de Energía de la materia \({T_{\sigma}}^{\alpha}\), al igual que las componentes energéticas \({t_{\sigma}}^{\alpha}\), [Ecuaciones (49) y (50)] del campo gravitatorio, tendrá un carácter mixto, pero formará parte de un Tensor covariante simétrico.

donde sabemos que los Tensores \(g_{\sigma\,\tau}{T_{\sigma}}^{\alpha}={T_{\sigma\tau}}\) ó \(T_{\mu\,\nu}\) deben ser tensores simétricos.

1916 N° 7

ANNALEN DER PHYSIK.

CUARTA SERIE. VOLUMEN 49.

Los Fundamentos
de la Teoría de la Relatividad General;
por A. Einstein.

La teoría que se presenta a continuación constituye la generalización más amplia concebible de la actual teoría denominada generalmente como "Teoría de la Relatividad"; para distinguirla de la primera, en lo sucesivo, llamaré a esta última Teoría de la Relatividad Especial y supondré que es previamente conocida. La generalización de la Teoría de la Relatividad se ha facilitado mucho como consecuencia de la forma dada por Minkowski a la Teoría de la Relatividad Especial, el matemático que primero reconoció claramente la equivalencia formal de las coordenadas espaciales y las coordenadas temporales, y las hizo utilizables para la construcción de la teoría. Las herramientas matemáticas necesarias para la Teoría de la Relatividad General estaban listas y disponibles en el "Cálculo diferencial absoluto", las cuales descansan en las investigaciones de Gauss, Riemann y Christoffel sobre las Variedades No-Euclidianas, y llevadas a un sistema por Ricci y Levi-Civita que ya se han aplicado a problemas de física teórica. En la sección B del presente artículo he desarrollado todas las herramientas matemáticas, para nosotros necesarias, asumidas como no conocidas por el físico de la forma más sencilla y transparente posible, de modo que no sea necesario un estudio de la literatura matemática para la comprensión del presente artículo. Por último, en este punto debo de agradecer a mi amigo, el matemático Grossmann, pienso, que con su ayuda no solo me evitó ese estudio de la literatura matemática pertinente, sino que también me ayudó en la búsqueda de las Ecuaciones de Campo de la Gravitación.

A. Principales Consideraciones sobre el Postulado de la Relatividad.

Observaciones sobre la Teoría de la Relatividad Especial.

La Teoría de la Relatividad Especial se basa en el siguiente postulado que también es satisfecha por la mecánica de Galilei-Newton: Si se elige un sistema de coordenadas \(K\) de manera que, en relación a si mismo, las leyes físicas se aplican en su forma más simple, entonces en relación a cualquier otro sistema de coordenadas \(K^\prime\) que se encuentra en movimiento de traslación uniforme relativo a \(K\), también se aplican las mismas leyes. Vamos a llamar a este postulado el "Principio de Relatividad Especial". Con la palabra "especial" se pretende indicar que este principio está limitado a los casos donde \(K^\prime\) realiza un movimiento de traslación uniforme respecto de \(K\), pero que la equivalencia de \(K^\prime\) y \(K\) no se extiende al caso del movimiento no uniforme de \(K^\prime\) respecto de \(K\).

Por lo tanto, la Teoría de la Relatividad Especial no se desvía de la mecánica clásica por causa del Postulado de la Relatividad sino que exclusivamente debido al postulado de la Constancia de la Velocidad de la Luz en el vacío, a partir de ahí en asociación con: el Principio de Relatividad Especial, la Relatividad de la Simultaneidad, así como la Transformación de Lorentz y las leyes asociadas con ella sobre el comportamiento de los cuerpos rígidos y relojes en movimiento deducidas de manera conocida.

La modificación que ha experimentado la teoría del Espacio y Tiempo debido a la Teoría de la Relatividad Especial es ciertamente profunda; pero un punto muy importante ha permanecido intacto. También, según la Teoría de la Relatividad Especial, los teoremas de la geometría deben interpretarse directamente, es decir, como leyes sobre las posibles posiciones relativas de los cuerpos sólidos (en reposo), de forma más general, las leyes de la cinemática como teoremas que describen el comportamiento de los cuerpos de medición y los relojes. En este caso, dos puntos materiales resaltados de un cuerpo (rígido) en reposo siempre corresponde a una distancia de una longitud completamente determinada, independiente de la posición y orientación del cuerpo así como del tiempo; dos posiciones resaltadas de las manecillas de un reloj en reposo relativo al sistema de referencia (privilegiado) siempre corresponde a un tramo de tiempo de duración especifica, independiente de la ubicación y del tiempo. Pronto se hará evidente que la Teoría de la Relatividad General no puede atenerse a esta simple interpretación física del Espacio y Tiempo.

Sobre las Razones que sugieren una Extensión del Postulado de la Relatividad.

La mecánica clásica y, no menos, la Teoría de la Relatividad Especial se adhieren a una deficiencia epistemológica que fue destacada con claridad probablemente por primera vez por E. Mach. Lo explicaremos en el siguiente ejemplo. Dos cuerpos líquidos del mismo tamaño y naturaleza flotan libremente en el espacio a una distancia tan grande el uno del otro (y de todas las demás masas) que únicamente hay que tener en cuenta aquellas fuerzas gravitatorias que ejercen las partes de uno de estos cuerpos sobre el otro. La distancia entre los cuerpos es invariable. No deben producirse movimientos relativos de las partes de uno de los cuerpos contra el otro. Pero cada masa --- como evaluado por un observador en reposo relativo a la otra masa --- debe de rotar alrededor de la línea que conecta las masas con una velocidad angular constante (se trata de un movimiento relativo constatable de las dos masas). Ahora nos imaginamos las superficies de ambos cuerpos (\(S_{1}\,\) y \(\,S_{2}\)) medidos con ayuda de una escala de medición (en reposo relativo); resulta que la superficie de \(\,S_{1}\,\) es una esfera y la de \(\,S_{2}\,\) un elipsoide de revolución.

Ahora preguntamos: ¿Por qué razón el comportamiento de los cuerpos \(\,S_{1}\,\) y \(\,S_{2}\,\) son diferentes? Una respuesta para esta pregunta solo puede reconocerse como epistemológicamente satisfactoria¹ si la cosa aducida como causa es un hecho de la experiencia que puede observarse; puesto que la ley de causalidad solo entonces tiene el sentido de un enunciado del "mundo de experiencias", siempre que las causas y efectos aparezcan en última instancia solamente como hechos observables.

La mecánica newtoniana no ofrece una respuesta satisfactoria a esta pregunta. Concretamente dice lo siguiente: Las leyes de la mecánica son válidas perfectamente en un espacio \(\,R_{1}\,\), respecto del cual el cuerpo \(\,S_{1}\,\) está en reposo, pero no con respecto a un espacio \(\,R_{2}\,\), respecto del cual \(\,S_{2}\,\) está en reposo. Sin embargo, el espacio galileano privilegiado \(\,R_{1}\,\) que se ha introducido aquí, es una causa simplemente ficticia, no una cosa que pueda observarse. Por lo tanto, está claro, que la mecánica newtoniana no satisface realmente el requisito de causalidad sino que en el caso considerado solo lo aparenta, al convertir a la causa puramente ficticia \(\,R_{1}\,\) en responsable del comportamiento diferente que puede observarse en los cuerpos \(\,S_{1}\,\) y \(\,S_{2}\,\).

Una respuesta satisfactoria a la pregunta planteada anteriormente solo puede expresarse así: Que el sistema físico compuesto por \(\,S_{1}\,\) y \(\,S_{2}\,\) no muestra por sí mismo ninguna causa concebible a la que pueda atribuirse el comportamiento diferente de \(\,S_{1}\,\) y \(\,S_{2}\,\). Por lo tanto, la causa debe estar fuera de este sistema. Uno llega a la conclusión de que las leyes generales del movimiento que determinan, en particular, las formas de \(\,S_{1}\,\) y \(\,S_{2}\,\), deben de ser tales que el comportamiento mecánico de \(\,S_{1}\,\) y \(\,S_{2}\,\) tiene que estar determinado de manera conjunta por masas esencialmente muy lejanas que no habíamos previsto en el sistema considerado. Estas masas lejanas (y sus movimientos relativos respecto a los cuerpos considerados) deben ser vistas entonces como las portadoras de causas en principio observables para los diferentes comportamientos de nuestros cuerpos considerados; ellas toman la función de la causa ficticia \(\,R_{1}\,\). De todos los espacios concebibles \(\,R_{1}\,\), \(\,R_{2}\,\), etc. con movimientos arbitrarios relativos a ellos mismos, ninguno puede considerarse a priori como preferido, si no se desea revivir nuevamente la objeción epistemológica ya expuesta. Las leyes de la física deben obtenerse de tal manera que sean válidas en cualquier sistemas de referencia en movimiento relativo. Así que por este camino llegaremos a una extensión del Postulado de la Relatividad.

Además de este serio argumento epistemológico, también un hecho físico bien conocido habla a favor de una ampliación de la teoría de la relatividad. Sea \(\,K\,\) un sistema de referencia galileano, es decir, uno tal, que relativo a una masa cualquiera que está suficientemente alejada de otras (por lo menos en aquella región cuatridimensional considerada), se desplaza en línea recta y de manera uniforme. Considere a \(\,K^{\prime}\,\) un segundo sistema de coordenadas que con respecto a \(\,K\) se encuentra en un movimiento de traslación uniformemente acelerado. Con respecto a \(K^{\prime}\), una masa suficientemente separada de las demás realiza entonces un movimiento acelerado de tal manera que su aceleración y su dirección de aceleración son independientes de su composición material y de su estado físico.

¿Puede un observador en reposo relativo a \(\,K^{\prime}\,\) sacar la conclusión desde ahí, que se encuentra en un sistema de referencia "realmente" acelerado? Esta pregunta se debe responder negativamente, porque el comportamiento antes mencionado de las masas en movimiento libre relativo a \(\,K^{\prime}\,\) también se pueden interpretar de la siguiente manera: El sistema de referencia \(\,K^{\prime}\,\) no está acelerado; pero en la región espacio-temporal considerada existe un campo gravitatorio que genera el movimiento acelerado de los cuerpos relativo a \(\,K^{\prime}\).

Con ello se permite esta concepción que nos ha enseñado la experiencia, la existencia de un campo de fuerza (a saber, el campo gravitatorio) que tiene la extraña propiedad de impartir la misma aceleración a todos los cuerpos.² Tal como se presenta a la experiencia, el comportamiento mecánico de los cuerpos relativos a \(\,K^{\prime}\,\) comparado con los sistemas que estamos acostumbrados a considerar como sistemas "en reposo" o como "privilegiados", son idénticos; por eso desde el punto de vista físico también corresponde suponer que cada uno de los sistemas \(\,K\,\) y \(\,K^{\prime}\,\) tienen el mismo derecho de ser considerados como "en reposo", o que están en igualdad de condiciones como sistemas de referencia para la descripción física de los procesos.

De estas consideraciones se puede ver, que la implementación de la Teoría de la Relatividad General debe conducir simultáneamente hacia una teoría de la gravedad; puesto que se puede "generar" un campo gravitatorio mediante un simple cambio del sistema de coordenadas. También se puede ver inmediatamente que el principio de la Constancia de la Velocidad de la Luz en el vacío tiene que experimentar una modificación. Porque es fácil reconocer que la trayectoria de un rayo de luz con respecto a \(\,K^{\prime}\,\) debe ser en general una curva, si la luz se propaga con respecto a \(\,K\,\) en línea recta y con una determinada velocidad constante.

El Continuo Espacio-Tiempo. Requisito de Covarianza General para las Ecuaciones que expresan las Leyes Generales de la Naturaleza.

En la mecánica clásica así como en la Teoría de la Relatividad Especial las coordenadas del Espacio y del Tiempo tienen un significado físico directo. Un evento puntual tiene en el Eje \(\,X_1\,\) la coordenada \(\,x_1\,\), es decir: la proyección del evento puntual sobre el Eje \(\,X_1\), calculada conforme a las reglas de la geometría euclidiana utilizando barras rígidas, el cual se obtiene si se resta una determinada barra, la escala de medición unitaria, \(\,x_1\,\) veces, desde el punto de partida del cuerpo de coordenadas a lo largo del Eje \(\,X_1\,\) (positivo). Un punto tiene en el Eje \(\,X_4\,\) la coordenada \(\,x_4 \;=\; t\), quiere decir: un reloj estándar dispuesto en reposo respecto al sistema de coordenadas, que coincide espacialmente (prácticamente) con el evento puntual y está orientado según ciertas reglas; cuando se produce el evento puntual ha recorrido \(\,x_4 \;=\; t\,\) periodos.³

Esta concepción del Espacio y del Tiempo siempre estuvo presente en los físicos, si bien en su mayoría de forma inconsciente como se puede reconocer claramente a partir del papel que estos términos desempeñan en la medición física; el lector también tiene que colocar esta concepción como la base de la segunda consideración del párrafo anterior \((\S\,2)\) para poder conectar un significado a estas explicaciones. Pero ahora queremos mostrar que para poder implementar el Postulado de la Relatividad General {{{dicha concepción}}} debe abandonarse y sustituirse por una más general, {{siendo que}} la Teoría de la Relatividad Especial se aplica al caso límite donde no existe un campo gravitatorio.

Introducimos en un espacio, que está libre de campos gravitatorios, un sistema de referencia galileano \(\,K (x,\, y,\, z,\, t)\,\) y también un sistema de coordenadas \(\,K^\prime (x^\prime,\, y^\prime,\, z^\prime\; t^\prime)\,\) que rota uniformemente respecto a \(\,K\). El punto de origen de ambos sistemas así como sus Ejes \(\,Z\,\) deben coincidir permanentemente. Queremos mostrar que para una medición de Espacio-Tiempo en el sistema \(\,K^{\prime}\,\) no se puede seguir manteniendo la definición arriba mencionada sobre el significado físico de longitudes y tiempos. Por razones de simetría es evidente, que un círculo alrededor del punto de origen del plano \(X{-}Y\) de \(K\) se puede interpretar de manera simultanea como un círculo en el plano \(X^\prime{-}Y^\prime\) de \(K^\prime\). Nos imaginamos ahora que la circunferencia y el diámetro de este círculo se ha medido con una escala de medición unitaria (infinitamente pequeña en relación con el radio) y se forma el cociente de ambos resultados de medición. Si este experimento se realizara con una escala de medición en reposo respecto al sistema galileano K, entonces se obtendría como cociente el número \(\pi\). El resultado de la determinación realizada con una escala de medición en reposo respecto a \(\,K^{\prime}\,\) podría ser un número, que es mayor que \(\,\pi\). Esto se puede reconocer fácilmente si se evalúa todo el proceso de medición desde el sistema \(\,K\,\) "en reposo" y teniendo en cuenta que la escala de medición aplicada sobre la periferia sufre un acortamiento de Lorentz, pero la escala de medición aplicada a lo largo del radio no. Por eso la geometría euclidiana no es válida con respecto a \(\,K^{\prime}\,\); entonces el concepto de coordenadas definido anteriormente, que presupone la validez de la geometría euclidiana, falla en lo que respecta al sistema \(\,K^{\prime}\,\). Tampoco se puede introducir en \(\,K^{\prime}\), un tiempo correspondiente a las necesidades físicas, que sea mostrada por relojes idénticamente constituidos en reposo relativo a \(\,K^{\prime}\,\). Para comprender esto, imaginemos cada uno de los dos relojes idénticamente constituidos colocados en el origen de coordenadas y en la periferia del círculo, y vistos desde el sistema \(\,K\,\) "en reposo". De acuerdo con un conocido resultado de la Teoría de la Relatividad Especial, el reloj colocado en la periferia del círculo --- evaluado desde \(\,K\,\) --- funcionará más lentamente que el reloj colocado en el punto de origen, porque el primer reloj está en movimiento pero el segundo reloj no. Un observador ubicado en el origen común de coordenadas, que también sea capaz de observar al reloj situado en la periferia mediante la luz, vería entonces al reloj colocado en la periferia caminar más lentamente que el reloj colocado junto a él. Ya que no podrá decidir al respecto, de permitir que la velocidad de la luz durante el camino de entrada en cuestión dependa explícitamente del tiempo; él interpretará su observación ahí mismo, que el reloj de la periferia va "realmente" más lento que el situado en el origen. Por lo tanto, no podrá evitar en definir así el tiempo, que la velocidad de marcha de un reloj depende de su ubicación.

Entonces llegamos a la conclusión: En la Teoría de la Relatividad General, las magnitudes del Espacio y Tiempo no se pueden definir de tal manera que las diferencias de coordenadas espaciales se puedan medir directamente con una escala de medición unitaria y las temporales con un reloj estándar.

Por tanto, el recurso anterior de colocar las coordenadas de una determinada manera en el continuo espacio-tiempo falla, y además no parece haber alguna otra manera de representarlo, que permita adaptar los sistemas de coordenadas al mundo cuatridimensional de tal modo que al utilizarlos se debería esperar una formulación particularmente sencilla de las leyes de la naturaleza. Por eso no queda otra opción, que considerar a todos los sistemas de coordenadas concebibles⁴ como, en principio, con los mismos derechos para la descripción de la naturaleza. Esto se reduce al requisito:

Las leyes generales de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que son válidas para todos los sistemas de coordenadas, es decir, que frente a cualquier sustitución son covariantes (covariantes generales).

Está claro que una física que satisfaga este postulado hace justicia al Postulado General de la Relatividad. Porque en todas las sustituciones también se incluyen aquellas que, en cualquier caso, corresponden a todos los movimientos relativos de los sistemas de coordenadas (tridimensionales). A partir de la referida consideración se desprende que este requisito de covarianza general, que quita al espacio y al tiempo el último resto de representación objetiva física, es un requisito natural. Todas nuestras constataciones espacio-temporales siempre resultan en la determinación de coincidencias espacio-temporales. Por ejemplo, si los acontecimientos existieran únicamente en el movimiento de puntos materiales, entonces, en última instancia, nada sería observable salvo los encuentros de dos o más de estos puntos. Además, los resultados de nuestras mediciones son nada mas que la constatación de tales encuentros de puntos materiales de nuestra escala de medición con otros puntos materiales; o de coincidencias entre las manecillas del reloj, los puntos del cuadrante del reloj y los eventos puntuales contemplados, que tienen lugar en la misma ubicación y al mismo tiempo.

La introducción de un sistema de referencia no sirve más que para facilitar la descripción del conjunto de tales coincidencias. Al mundo se le asignan cuatro variables espacio-temporales \(\,x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\), de tal modo que cada evento puntual corresponde a un sistema de valores de las variables \(\,x_1\,.\ldots\,x_4\). Dos eventos puntuales coincidentes corresponden al mismo sistema de valores de la variable \(\,x_1\,.\ldots\,x_4\); es decir, la coincidencia se caracteriza por la concordancia de las coordenadas. Si en lugar de la variable \(\,x_1\,.\ldots\,x_4\) se introduce cualquier función de la misma \(\,{x_1}^{\prime}\), \({x_2}^{\prime}\), \({x_3}^{\prime}\), \({x_4}^{\prime}\), como un nuevo sistema de coordenadas de modo que los sistemas de valores se asignen de forma inequívoca entre sí, entonces la igualdad de todas las cuatro coordenadas es también la expresión para la coincidencia espacio-temporal de dos eventos puntuales en el nuevo sistema. Dado que, todas nuestras experiencias físicas se pueden atribuir en última instancia a tales coincidencias, no existe inicialmente ninguna razón para preferir ciertos sistemas de coordenadas sobre otros, es decir, llegamos al requisito de la covarianza general.

Relación de las cuatro Coordenadas con los resultados de las mediciones Espaciales y Temporales. Expresión Analítica para el Campo Gravitatorio.

En este artículo no es mi intención presentar la Teoría de la Relatividad General como un sistema lógico lo más simple posible con un mínimo de axiomas. Mas bien, mi objetivo principal es desarrollar esta teoría de tal manera que el lector sienta la naturalidad psicológica del camino que está siguiendo y que las premisas en las que se basa parezcan lo más seguras posibles a través de esa experiencia. En este sentido, se introduce ahora el requisito previo:

Para regiones cuatridimensionales infinitamente pequeñas, la Teoría de la Relatividad en sentido estricto es aplicable con la elección adecuada de coordenadas.

En este caso, el estado de aceleración del sistema de coordenadas ("local") infinitamente pequeño se debe elegir de modo que no se produzca un campo gravitatorio; esto es posible para una región infinitamente pequeña. Sean: \(\,X_1\), \(X_2\), \(X_3\,\) las coordenadas espaciales, \(\,X_4\,\) la coordenada temporal; correspondientes, medidas en una escala de medición adecuada.⁵ Estas coordenadas tienen un significado físico directo en el sentido de la Teoría de la Relatividad Especial si se piensa en una barra rígida dada como una escala de medición unitaria para una determinada orientación del sistema de coordenadas. La expresion \[ \begin{equation}\label{eq:00001} d\,s^{\, 2} \;=\; -\; d\,{X_{1}}^{\, 2} \;-\; d\,{X_{2}}^{\, 2} \;-\; d\,{X_{3}}^{\, 2} \;+\; d\,{X_{4}}^{\, 2} \tag{1} \end{equation} \]
tiene entonces un valor independiente de la orientación del sistema de coordenadas local, determinado según la Teoría de la Relatividad Especial mediante una medición Espacio\(\,-\)Temporal. Llamaremos \(\,d\,s\,\) a la magnitud del elemento de línea que pertenece a los puntos infinitamente cercanos del espacio cuatridimensional. Si el valor \(\,d\,s^{\, 2}\,\) que pertenece a los elementos \(\left(d\,X_{1}\,.\dots\,d\,X_{4}\right)\) resulta positivo, entonces como Minkowski, vamos a llamar a este primer caso: de tipo tiempo, y al caso opuesto: de tipo espacio.

A este "elemento de línea" considerado, o a dos eventos puntuales infinitamente cercanos, también le pertenecen ciertas diferenciales \(\,d\,x_{1}\,.\dots\,d\,x_{4}\,\) de las coordenadas cuatridimensionales del sistema de referencia elegido. Si se da éste y un sistema "local" del tipo anterior para el punto considerado, entonces el \(\,d\,X_{\nu}\,\) se puede representar mediante determinadas expresiones lineales homogéneas de \(\,d\,x_{\sigma}\,\): \[ \begin{equation}\label{eq:00002} d\,X_{\nu} \;=\; \sum_{\sigma} \alpha_{\,\nu\,\sigma\,}\, d\, x_{\sigma}\,. \tag{2} \end{equation} \] Si se insertan estas expresiones en (\(\ref{eq:00001}\)), entonces se obtiene \[ \begin{equation}\label{eq:00003} d\,s^{\, 2} \;=\; \sum_{\sigma\,\tau} g_{\,\sigma\,\tau}\,d\,x_{\,\sigma}\,d\,x_{\tau}\,, \tag{3} \end{equation} \] donde las \(\,g_{\,\sigma\,\tau}\,\) serán funciones de \(\,x_{\sigma}\,\) que ya no pueden depender de la orientación y del estado de movimiento del sistema de coordenadas "local"; porque \(\,d\,s^{\, 2}\,\) es una cantidad determinable mediante medición del reloj con una escala de medición, que pertenece a los eventos puntuales considerados infinitamente cercanos en el espacio-tiempo, y definido independientemente de cualquier elección particular de coordenadas. En este caso las \(\,g_{\,\sigma\,\tau}\,\) son elegidas para que sea \(\,g_{\,\sigma\,\tau} \;=\; g_{\,\tau\,\sigma}\,\); la sumatoria se debe de extender a todos los valores de \(\,\sigma\,\) y \(\,\tau\,\), de modo que la suma se conforme de \(\,4\times 4\) sumandos de los cuales \(12\) son iguales por pares.

El caso de la Teoría de la Relatividad ordinaria se deduce de lo que aquí se ha considerado, si en este caso debido al comportamiento particular de \(\,g_{\,\sigma\,\tau}\,\) en una región finita es posible elegir el sistema de referencia de manera que en dicha región las \(\,g_{\,\sigma\,\tau}\,\) asuman los valores constantes \[ \begin{equation}\label{eq:00004} \left\{ \begin{array}{cccccccc} - & 1 & & 0 & & 0 & & 0 \\ & 0 & - & 1 & & 0 & & 0 \\ & 0 & & 0 & - & 1 & & 0 \\ & 0 & & 0 & & 0 & + & 1 \end{array} \right. \tag{4} \end{equation} \]
Más adelante veremos que la elección de tales coordenadas por lo general no suele ser posible para regiones finitas.

De las consideraciones de \(\,\S{2}\,\) y de \(\,\S{3}\,\) se deduce que desde un punto de vista físico las cantidades \(\,g_{\,\sigma\,\tau}\,\) se deben considerar como aquellas cantidades que describen el campo gravitatorio en relación con el sistema de referencia elegido. Es decir, aceptamos primeramente que la Teoría de la Relatividad Especial es válida para una determinada región de cuatro dimensiones bajo consideración, con una elección adecuada de coordenadas. En este caso, las \(\,g_{\,\sigma\,\tau}\,\) deben de tener los valores especificados en (\(\ref{eq:00004}\)). Entonces, un punto material libre se moverá de manera uniforme y en línea recta con respecto a este sistema. Si se introduce ahora nuevas coordenadas de Espacio-Tiempo \(\,x_1\,.\ldots\,x_4\,\) por medio de una sustitución cualquiera, entonces en este nuevo sistema las \(\,g_{\,\mu\,\nu}\,\) ya no serán constantes sino funciones del Espacio-Tiempo. De manera simultánea el movimiento del punto de masa libre aparecerá en las nuevas coordenadas como una linea curva, no uniforme, por lo que esta ley del movimiento será independiente de la naturaleza del punto de masa en movimiento. Por lo tanto, interpretaremos este movimiento como uno que está bajo la influencia de un campo gravitatorio. Vemos la aparición de un campo gravitatorio supeditada a una variabilidad espacio-temporal de las \(\,g_{\,\sigma\,\tau}\,\). Incluso en el caso general de que no podamos lograr la validez de la Teoría de la Relatividad Especial en una región finita mediante una elección adecuada de las coordenadas, tenemos que seguir sosteniendo la opinión de que las \(\,g_{\,\sigma\,\tau}\,\) describen este campo gravitatorio.

Por lo tanto, según la Teoría de la Relatividad General, la gravedad desempeña un papel excepcional en comparación con las demás fuerzas, en particular las electromagnéticas, debido a que las \(10\) funciones \(\,g_{\,\sigma\,\tau}\,\) que representan el campo gravitatorio también determinan de manera simultánea las propiedades métricas del espacio cuatridimensional.

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